目录

• 二元离散型随机变量
  • 定义
  • 联合概率分布
    • 相关概念
    • 联合概率分布律的性质
  • 边际分布
  • 条件分布
• 二元随机变量的分布函数
  • 联合分布函数
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 边际（边缘）分布函数
  • 条件分布函数
• 二元连续型随机变量
  • 联合概率密度函数
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 边际（边缘）概率密度函数
  • 条件概率密度函数
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 二元均匀分布与二元正态分布
    • 1. 二元均匀分布
    • 2. 二元正态分布
• 随机变量的独立性
  • 1. 定义
  • 2. 定理：连续型随机变量X,Y相互独立的充要条件
  • 一般n元随机变量的一些概念和结果
    • 1. 定义
    • 2. 分布函数
    • 3. 分布律 & 概率密度函数
    • 4. 边际分布
    • 5. 多元随机变量相互独立
      • 定理
• 二元随机变量函数的分布
  • 1. Z = X + Y 的分布
    • 分布律
    • 分布函数
    • 卷积公式
    • 题型：求 Z = X + Y 的概率密度函数
  • M = max{X,Y}, N = min{X,Y}的分布
    • 推广到n个相互独立的随机变量的情况

二元离散型随机变量#

定义#

关注：$X$、$Y$都是关于$e$的函数，二元随机变量是指向量$(X,Y)$

联合概率分布#

相关概念#

• 离散型随机变量：二元随机变量$(X,Y)$可能取到的不同值是有限对或可列无限对
• 离散型随机变量的联合概率分布律：$P(X = x_i, Y = y_i) = p_ij, i,j = 1,2,...$

联合概率分布律的性质#

如何描述联合概率分布（题干提问）：画表格

边际分布#

条件分布#

（解题）如果题干问条件分布律，回答格式：

二元随机变量的分布函数#

联合分布函数#

1. 定义#

2. 性质#

边际（边缘）分布函数#

推理：

条件分布函数#

二元连续型随机变量#

联合概率密度函数#

1. 定义#

2. 性质#

几何意义：

由于这里是二元变量，所以我通过概率密度函数求解一些事件概率时，通常会看事件代表的平面上几何范围（类似高中线性规划），然后对密度函数在相应的区域上积分，求得事件概率。

• 比如这里的第三问：
• 
• 答案里的积分，本质来源于对y=x曲线上方范围的积分。

再比如这道题，题干概率密度函数，自变量范围本来就有限制，那么求事件的时候要结合考虑：

• 
• 

边际（边缘）概率密度函数#

和分布函数的关系：

条件概率密度函数#

1. 定义#

与概率分布函数的关系：

2. 性质#

最后一个结论经常用到，用来求x,y的联合密度函数。

一道好题：

二元均匀分布与二元正态分布#

1. 二元均匀分布#

• 结论：二元均匀分布的条件分布的条件分布仍为均匀分布

2. 二元正态分布#

其中$\rho$为$X,Y$的相关系数。

1. 边际密度函数
   • X的边际密度函数$f_X(x)$：
   • Y的边际密度函数$f_Y(y)$：
   • 可以得出，二元正态分布的边际分布是正态分布，而且不依赖于参数$\rho$
2. 条件概率函数
   • 

随机变量的独立性#

1. 定义#

和离散概率/概率密度的关系： 加上前面定义中的分布函数结论，也经常用来验证X与Y的相互独立性。

2. 定理：连续型随机变量X,Y相互独立的充要条件#

例题：（利用离散型变量相互独立性） （红色为答案）

除此之外，X、Y的相互独立性还可以用来求联合密度函数/边际分布函数

• 结论：对于二维正态随机变量$(X,Y)$，$X$与$Y$相互独立的充要条件是参数$\rho = 0$

一般n元随机变量的一些概念和结果#

1. 定义#

2. 分布函数#

3. 分布律 & 概率密度函数#

4. 边际分布#

5. 多元随机变量相互独立#

定理#

二元随机变量函数的分布#

需要了解几种典型的二元随机变量函数分布：

1. Z = X + Y 的分布#

分布律#

• 结论：泊松分布

分布函数#

卷积公式#

X与Y独立时非常有用。

• 结论：相互独立标准正态随机变量X、Y，Z=X+Y的分布：$Z$~$N(0,2)$
• 推广结论：

题型：求 Z = X + Y 的概率密度函数#

两种方法：

• 利用卷积公式（X,Y独立的情况下） （注意对x,z二元变量范围进行（线性规划）限制）
• 利用分布函数 一样（线性规划）找范围，面积求解。

例题： 注意：沿变量轴方向积分

如： 若对x积分：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x)dx$ 那么：

例题： 从分布函数/概率表示事件+全概率公式 来入手，是很常用的方法。 正态分布的分布函数：整体利用和对称思想

M = max{X,Y}, N = min{X,Y}的分布#

推广到n个相互独立的随机变量的情况#

• 常见题型：
• 串并联+备用问题
  • 串联：$min\lbrace X,Y \rbrace$
  • 并联：$max\lbrace X,Y \rbrace$
  • 备用：$X + Y$