条件数学期望、协方差矩阵不考

目录

• 常见随机变量的数字特征
• 数学期望
  • 随机变量的数学期望
    • 定义
  • 随机变量函数的数学期望
    • 定理
  • 数学期望的性质
• 方差
  • 定义
    • 关于分布律的结论
  • 方差的性质
• 标准化变量
  • 定义
• 协方差
  • 定义、计算公式、方差性质补充
  • 协方差性质
• 相关系数
  • 定义
  • 相关系数的性质
  • 相关系数的意义、相关性
    • 不相关或零相关
• 其他数字特征
  • k阶矩
  • 上（侧）α分位数
  • 多元随机变量的数字特征
    • 1. n元随机变量的数学期望（向量）
    • 2. 协方差矩阵
  • n元正态变量有关
    • n元正态变量的概率密度
    • n元正态变量 四条重要性质

Tips of this Chapter:

• 有些积分，注意分部积分法的使用。常见如多项式乘e指数的运算。
• 关于一般正态分布的运算，经常转换为标准正态分布计算。假设变量$Z = {X - \mu \over \sigma}$，其服从标准正态分布。进行相关运算后，再利用逆线性变换将$Z$的相关值转化到目标变量的相关值。

常见随机变量的数字特征#

数学期望#

随机变量的数学期望#

又称期望、均值。

定义#

• 离散型 有期望的前提：
• 连续型 有期望的前提：

小结论：

1. 若 $X$ ~ $P(\lambda)$(泊松分布)，则 $E(x) = \lambda$
2. 若 $X$ ~ $E(\lambda)$(指数分布)，则 $E(x) = {1 \over \lambda}$

随机变量函数的数学期望#

定理#

定理的意义：求E(Y)时，不必算出Y的分布律或概率密度函数，只利用X的分布律或概率密度函数。

数学期望的性质#

一种解题方法：找到目标变量所代表的函数（进行拆解） < details 答案 >

< /details >

方差#

定义#

• 离散型：
• 连续型：
• 方差的性质：

关于分布律的结论#

• 泊松分布：若 $X$ ~ $P(\lambda)$，则均值和方差都是$\lambda$
• 均匀分布：若 $X$ ~ $U(a,b)$，那么均值为 ${b-a \over 2}$，方差为 ${(b-a)^2 \over 12}$
• 二项分布：若 $X$ ~ $B(n,p)$，则 $E(X) = np，Var(X) = np(1 - p)$
• 正态分布：若 $X$ ~ $N(\mu, \sigma ^2)$，则 $E(X) = \mu，Var(X) = \sigma ^2$
  • 标准正态分布（概率密度为 $\phi (t) = {1 \over \sqrt{2\pi} }e^-{t^2 \over 2}$，可以推出后面的和一些中间结论）：$\mu = 0, \sigma ^2 = 1$
  • 独立的n个正态变量的线性组合仍服从正态分布：

方差的性质#

标准化变量#

定义#

协方差#

定义、计算公式、方差性质补充#

方差性质的补充公式，可以和$X,Y$相互独立的情况比较（多了一个$2Cov(X,Y)$）

协方差性质#

几个小结论，可以推推看：

相关系数#

定义#

Q：第二个公式有啥用？

相关系数的性质#

< details 拓展部分，初次复习可略过 >

（拓展？）均方误差

< /details >

相关系数的意义、相关性#

不相关或零相关#

区别：相关性与独立性的判断

• 结论：二元正态分布的相关系数

  

其他数字特征#

k阶矩#

上（侧）α分位数#

注意不等号。

多元随机变量的数字特征#

1. n元随机变量的数学期望（向量）#

2. 协方差矩阵#

n元正态变量有关#

n元正态变量的概率密度#

利用协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广，得到n元正态变量的概率密度：

n元正态变量 四条重要性质#